potenciación de números enteros ~ MATEMÁTICA FÁCIL

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1 Las potencias de exponente par son siempre positivas.

(+)par = +

(−)par = +

2 Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

(+)impar = +

(−)impar = −

Potenciación con números enteros (n > 1, n € N)

Se utiliza para abreviar la multiplicación de un mismo número cuyo producto se realiza varias veces
El producto a·a·a·a·a·a tiene sus seis factores iguales. Este producto se indica en forma abreviada como a⁶.
A a⁶ se llama potencia de base a y exponente 6.

Potencia es una operación que consiste en multiplicar la base por si mismo tantas veces como indique el exponente
Ejemplo 1: 5³ es una potencia que tiene por base 5 y por exponente 3; por eso multiplicamos la base 5 tres veces: 5³ = 5·5·5 = 125
Ejemplo 2: (–3)² es una potencia de base (–3) y exponente 2; multiplicamos la base (–3) dos veces: (– 3)² = (– 3)·(– 3) = 9

Propiedades:

Todo número elevado a 1, es el propio número. Ejemplo 3: 5¹ = 5; 4¹ = 4: (–11)¹ = –11.
El exponente 1 no se escribe (no se pone); por lo tanto todo número que no tiene exponente, se supone que es 1
Todo número (distinto de cero) elevado a 0 es 1. Ejemplo 4: 11⁰ = 1; 329⁰ = 1; –7⁰ = –1

Conclusiones:

– Si la base es positiva, el resultado de la operación siempre es positiva sea cual sea el exponente. (en los números naturales la base siempre es positiva)
– Si la base es negativa, el resultado de la operación depende del exponente:
Si el exponente es par el resultado es positivo (el producto de dos signos negativos da resultado positivo: (–)·(–) = +
Si el exponente es impar el resultado es negativo (siempre queda un signo negativo sin aparear).
Para que la base sea negativa tiene que estar entre paréntesis, en cuyo caso también hay que elevar el signo “ – “

Ejemplos:
2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32
(– 5)³ = (– 5)·(– 5)·(– 5) = –125     (base negativa con exponente impar: por tanto el signo también se multiplica tres veces).
(–7)⁴ = (–7)·(–7)·(–7)·(–7) = 2 401         (base negativa con exponente par: el signo se efectúa 4 veces).
– 3⁴ = – 3·3·3·3 = – 81       (la base positiva: se eleva sólo la base y el signo se deja como esta)
(–3)⁴ = (–3)·(–3)·(–3)·(–3) = 81      (la base negativa y el signo también se eleva).

Propiedades de las potencias:

Si tienen la misma base:
– El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
Ejemplo 5: 3^2·3³ = 3²⁺³ = 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243;

– El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
Ejemplo 6: 4⁶ : 4³ = 4^6–3 = 4³ = 4·4·4 = 64
Ejemplo 7: 7⁵ : 7³ = 7^5–3 =7² = 7·7 = 49

Si tienen el mismo exponente:
– El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo.
Ejemplo 8: 2³·7³ = (2·7)³= 14³ = 14·14·14 = 2744

– El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo.
Ejemplo 9: 8⁶ :4⁶ = (8:4)⁶ = 2⁶ = 2·2·2·2·2·2= 64.

Por último:
– La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes.
Ejemplo 10: (4³)² = 4^3·2 = 4⁶ = 4·4·4·4·4·4 = 4096

Ejercicio 1: (–2)⁵.(–2)⁴ = (–2)⁵⁺⁴ = (–2)⁹ = (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2) = – 512
Ejercicio 2: ((–4)³ )²= (–4)^3·2 = (–4)⁶ = (–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4)·(–4) = 4096

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