centro de masa

El centro de masa es una posición definida en relación a un objeto o a un sistema de objetos. Es el promedio de la posición de todas las partes del sistema, ponderadas de acuerdo a sus masas.

Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de masa se ubica en el centroide. Por ejemplo, el centro de masa de un disco uniforme estaría en su centro. Algunas veces el centro de masa no está en ningún lado sobre el objeto. El centro de masa de un anillo, por ejemplo, está ubicado en su centro, en donde no hay material.

Figura 1: centro de masa para algunas formas geométricas (puntos rojos)

Figura 1: centro de masa para algunas formas geométricas (puntos rojos).

Para formas más complicadas, necesitamos una definición matemática más general del centro de masa: es la única posición en la cual los vectores de posición ponderados de todas las partes de un sistema suman cero. 

$m$m$m$m$(m\cdot \mathbf{\hat{r}})$$\mathbf{\hat{r}}$

$n$n

$\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\hat{r}}_i = 0$

$\mathbf{S}$$M$M

$\mathbf{S} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\hat{r}}_i$

Lo interesante acerca del centro de masa de un objeto o de un sistema, es que es el punto en donde actúa cualquier fuerza uniforme sobre el objeto. Esto es útil porque facilita resolver problemas de mecánica en donde tenemos que describir el movimiento de objetos con formas raras y de sistemas complicados.

Si empujamos un objeto rígido en su centro de masa, entonces el objeto siempre se moverá como si fuera una masa puntual. No va a rotar alrededor de ningún eje, sin importar la forma que tenga. Si el objeto es sometido a la acción de una fuerza fuera de equilibrio en algún otro punto, entonces empezará a rotar alrededor del centro de masa.

En general, el centro de masa se puede encontrar con la suma vectorial ponderada de los vectores de posición, la cual apunta al centro de masa de cada objeto en un sistema. Una técnica rápida que nos permite evitar usar aritmética vectorial es encontrar, de manera separada, el centro de masa de los componentes a lo largo de cada eje. Es decir:

para las posiciones de los objetos a lo largo del eje x:

$\mathrm{CDM}_x = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}$

Para el eje y:

$\mathrm{CDM}_y = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}$

Juntos, estos dos dan las coordenadas $(\mathrm{CDM}_x, \mathrm{CDM}_y)$ del centro de masa del sistema. Por ejemplo, considera el sistema de tres objetos planos con densidad uniforme mostrados en la Figura 2.

Figura 2: un sistema de tres objetos planos.

Figura 2: un sistema de tres objetos planos.

La ubicación del centro de masa en la dirección $x$x es:

$\frac{1\cdot 4 + 1\cdot 6 + 2\cdot 12}{1+1+2} = 8{,}5$start fraction, 1, dot, 4, plus, 1, dot, 6, plus, 2, dot, 12, divided by, 1, plus, 1, plus, 2, end fraction, equals, 8, comma, 5

y en la dirección $y$y:

$\frac{1\cdot 5 + 1\cdot 12 + 2\cdot 8{,}5}{1+1+2} = 8{,}5$start fraction, 1, dot, 5, plus, 1, dot, 12, plus, 2, dot, 8, comma, 5, divided by, 1, plus, 1, plus, 2, end fraction, equals, 8, comma, 5

Los objetos complicados a menudo se pueden representar como colecciones de formas más sencillas, cada uno con una masa uniforme. Entonces podemos representar cada componente de la forma como un punto ubicado en el centroide. Los espacios vacíos dentro de los objetos incluso se pueden tomar en cuenta al representarlos como formas con masa negativa.

Considera el objeto con forma plana irregular y densidad uniforme mostrado en la Figura 3a.

Figura 3: (a) un objeto plano con forma irregular. (b) objeto dividido en formas sencillas.

Figura 3: (a) un objeto plano con forma irregular. (b) objeto dividido en formas sencillas.

Podemos dividir este objeto en cuatro rectángulos y un círculo, como se muestra en la Figura 3b. Aquí solo estamos interesados en la posición del centro de masa en las unidades relativas mostradas en la figura. El material tiene densidad uniforme así que la masa es proporcional al área. Por simplicidad, podemos representar la masa de cada sección en unidades de 'cuadrados', como se muestra en el diagrama.

En la dirección $x$x, el centro de masa está en:

16⋅10+52⋅4+12⋅7,5+16⋅10+(−7,1)⋅4,516+52+12+16–7,1=6,6

Observa que el área del espacio vacío circular es $\pi \cdot 1{,}5^2 \simeq 7{,}1$. Esto se toma en cuenta como una masa negativa.

En la dirección $y$y:

16⋅13+52⋅7,5+12⋅7,5+16⋅2+(−7,1)⋅7,516+52+12+16–7,1=7,5

¿Qué es el centro de gravedad?

El centro de gravedad es el punto a través del cual la fuerza de gravedad actúa sobre un objeto o un sistema. En la mayoría de los problemas de mecánica, se supone que el campo gravitacional es uniforme. Entonces, el centro de gravedad está exactamente en la misma posición que el centro de masa. Los términos del centro de gravedad y del centro de masa a menudo tienden a usarse de manera intercambiable, ya que suelen estar en la misma ubicación.

tomado de: https://es.khanacademy.org/science/physics/linear-momentum/center-of-mass/a/what-is-center-of-mass